私は、1年ごとに雇用契約を繰り返して働いてきています。今年で5年目に入りました。会社からは、「頼りにしているから来年以降も頼むよ」と言ってきています。楽しく働くことができる職場なので来年以降も長く働きたいと思っています。このような場合、無期雇用契約への転換できる制度があると聞きましたが、その制度について教えてください。

無期転換制度は、同一の使用者との間で、有期労働契約が5年を超えて更新された場合に、有期契約労働者からの申込みにより、期間の定めのない労働契約（無期労働契約）に転換される制度です（労働契約法第18条第1項）。
もう少し詳しく説明しますと、御質問のように契約期間が1年の場合には、雇用契約を繰り返して5年を超えて更新されると、労働者に無期転換申込権が発生します。そして、その更新された雇用契約期間中に労働者は無期転換の申込を行うことができます。労働者が、無期転換申込権を行使して、使用者に対して無期転換の申込みを行った場合には、無期労働契約が成立します。これは、労働者の権利ですから、使用者はその申込を断ることはできません。なお、無期雇用転換された場合の労働条件については、以前と同様のものとなります。

なお、契約期間が1年ではない場合、例えば、3年間の雇用契約を更新して5年を超える場合には、下図のように、最初の3年の雇用契約が終了して、契約を更新した時点で無期転換申込権が発生します。無期転換申込権を行使できるのは更新した雇用契約の3年間の間となり、無期転換申込権が行使されたら、当該契約期間が満了した時点で無期労働契約に転換することとなります。